Spektralsequenz

Eine Spektralsequenz^[1][2] oder Spektralfolge^[3] ist ein Grenzwertprozess zur Berechnung von Homologiegruppen im mathematischen Teilgebiet der homologischen Algebra. Nach J. F. Adams sind Spektralsequenzen wie exakte Sequenzen, nur komplizierter. Wie für exakte Sequenzen gelte auch für Spektralsequenzen: sie bieten keine Erfolgsgarantie, sind aber trotzdem in den Händen der Fachleute häufig ein effektives Werkzeug.^[4]

Die Grundidee geht auf eine 1946 von Leray veröffentlichte Forschungsankündigung zur kohomologischen Untersuchung einer Garbe zurück. Bereits 1947 hatte Koszul – mit Hilfe eines Hinweises von Cartan – das Spektralsequenz-Kalkül in der heutigen Form abstrahiert, so dass auch Leray in der vollständigen Version seiner Arbeit Koszuls Formalismus verwendete.^[5]

1. ↑ Klaus Lamotke: Semisimpliziale algebraische Topologie (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Nr. 147). Springer-Verlag, Berlin 1968, ISBN 978-3-662-12989-0, Überschrift des VI. Kapitels, doi:10.1007/978-3-662-12988-3. 
2. ↑ Andreas Dress: Zur Spectralseqenz einer Faserung. In: Inventiones Mathematicae. Band 3, Nr. 2, 1967, S. 172–178, doi:10.1007/BF01389743. 
3. ↑ Volker Puppe: Über Konvergenz von Spektralfolgen in der stabilen Homotopietheorie. In: manuscripta mathematica. Band 6, Nr. 4, 1972, ISSN 0025-2611, S. 327–358, doi:10.1007/BF01303687. 
4. ↑ J. F. Adams: Algebraic Topology. a student's guide (= London Mathematical Society Lecture Note Series. Nr. 4). Cambridge University Press, 1972, ISBN 0-521-08076-2, S. 13: „A spectral sequence is … like an exact sequence, but more complicated. … Like an exact sequence, it does not provide a guarantee that one can carry out any required calculation effectively, but the experts succeed with it more often than not.“ 
5. ↑ Jean Dieudonné: A history of algebraic and differential topology, 1900–1960 (= Modern Birkhäuser Classics). Nachdruck der 1989 Auflage. Birkhäuser, Boston 2009, ISBN 978-0-8176-4906-7, S. 132–141, doi:10.1007/978-0-8176-4907-4.